Kalkulus

KEKONTINUAN

 Kadang-kadang nilai lim f ( x ) sama dengan f (c) , kadang pula tidak sama. x→c. Pada kenyataannya, meskipun f (c) tidak terdefinisikan, akan tetapi lim f ( x ) mungkin x→c ada. Apabila lim f ( x ) = f (c) maka dikatakan fungsi f kontinu di c. x→c.

Ada tiga syarat agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu:

a.  f(c) ada atau terdefinisikan

b.  2. lim f ( x ) ada x→c

c.   3. lim f (x ) = f (c ) x→c y = f (x ) °  •  °  •  °  •     a         x1 x2               x3           x4                          

f  kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam (a,b) kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena lim f ( x ) tidak ada, diskontinu di x3 karena x→x 2 nilai lim f ( x ) tidak sama dengan nilai fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan x→ x 3 diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

Contoh :

Fungsi Heavyside H yang didefinisikan sebagai berikut. ⎧ 0 jika x < 0 H (x ) = ⎨ ⎩1 jika x ≥ 0, Apakah fungsi ini kontinyu di x = 0 ?

Penyelesaian:

Syarat agar fungsi H(x) kontinu di x = 0,

1.     Jika x=0 maka H(0) = 1,  Nilai fungsi ada atau terdefinisikan

2.    Lim H (x ) = 0, dan lim+ H (x ) = 1, x →0 − x →0 limit fungsi H(x) tidak ada karena limit kiri ≠ limit kanan.

3.    Ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi H(x) diskontinu di x = 0.

Contoh

Fungsi g didefinisikan dengan ⎧ x2 − 4 ⎪ jika x ≠ 2 ⎪ x−2 g (x ) = ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎩ jika x = 2. Apakah fungsi tersebut kontinyu di x = 2 ?

Penyelesaian :

Fungsi kontinyu jika memenuhi 3 syarat berikut:

1.     Jika x=2 , maka g (2) = 1 nilai fungsi ada x2 −42.

2.    lim g(x ) = lim = lim (x + 2 ) = 4 nilai limitnya ada yaitu 4 x →2 x→2 x−2 x→23. Nilai lim g (x ) ≠ g(2) x→2

3.    Karena ketiga syarat tidak terpenuhi maka fungsi g(x) tidak kontinyu di x = 2

Contoh

 x2 − 4Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 2 x−2

Penyelesaian:

1.     x2 − 4Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) = x−2 01.

2.    f(2) = suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada 0,

3.    Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2

Contoh

 x2 − 1Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 1 x2 + 1

Penyelesaian: 12 - 1 1 - 1 01. f (1) = = = = 0 , ada 12 + 1 1 + 1 2 x2 - 1 1-1 02.

 lim f(x) = lim = = = 0 , ada x →1 x + 1 1+1 2 2

x →1

 

Lim f(x) = f ( 1 ) = 0 x →1 Jadi f(x) kontinu di x = 1

Contoh

Diberikan f ( x ) = 1− x 2 . Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian : Jelas f tidak kontinu pada (− ∞ , − 1) dan pada (1 ,∞ ) sebab f tidak terdefinisi pada intervaltersebut.

Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh: lim f (x ) = lim x →a x→a 1− x 2 = x→a ( ) lim 1 − x 2 = 1 − a 2 = f (a )

Jadi, f kontinu pada (−1, 1).

 Dengan perhitungan serupa didapatkan: lim f ( x ) = 0 = f (− 1) dan lim f ( x ) = 0 = f (1) x → −1 + x → 1−

sehingga f kontinu dari kanan di x = −1 dan kontinu dari kiri di x = 1.

Jadi, f kontinu pada [− 1,1] .