KEKONTINUAN
Kadang-kadang nilai lim f ( x ) sama dengan f
(c) , kadang pula tidak sama. x→c. Pada
kenyataannya, meskipun f (c) tidak terdefinisikan, akan tetapi lim f ( x )
mungkin x→c ada. Apabila lim f ( x ) = f (c) maka dikatakan
fungsi f kontinu di c. x→c.
Ada tiga syarat
agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu:
a. f(c) ada atau terdefinisikan
b. 2. lim f ( x ) ada x→c
c. 3. lim f (x ) = f (c ) x→c y = f (x ) ° • ° • ° • a x1 x2 x3 x4
f kontinu di x1 dan di setiap titik
di dalam (a,b) kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2
karena lim f ( x ) tidak ada, diskontinu di x3 karena x→x 2 nilai lim f ( x ) tidak sama dengan nilai fungsi di x3 (meskipun
keduanya ada), dan x→ x 3 diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini
tidak ada.
Contoh :
Fungsi Heavyside H yang didefinisikan sebagai berikut. ⎧ 0 jika x < 0 H (x ) = ⎨ ⎩1 jika x ≥ 0, Apakah fungsi ini kontinyu di x = 0 ?
Penyelesaian:
Syarat agar fungsi H(x) kontinu di x = 0,
1. Jika x=0 maka H(0) = 1, Nilai fungsi ada atau terdefinisikan
2. Lim H (x ) = 0, dan lim+ H (x ) = 1, x →0 − x →0 limit fungsi H(x) tidak ada karena limit kiri ≠ limit kanan.
3. Ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi H(x)
diskontinu di x = 0.
Contoh
Fungsi g didefinisikan dengan ⎧ x2 − 4 ⎪ jika x ≠ 2 ⎪ x−2 g (x ) = ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎩ jika x = 2. Apakah fungsi tersebut kontinyu di x = 2
?
Penyelesaian :
Fungsi kontinyu jika memenuhi 3 syarat berikut:
1. Jika x=2 , maka g (2) = 1 nilai fungsi ada x2 −42.
2. lim g(x ) = lim = lim (x + 2 ) = 4 nilai limitnya ada
yaitu 4 x →2 x→2 x−2 x→23. Nilai lim g (x ) ≠ g(2) x→2
3. Karena ketiga syarat tidak terpenuhi maka fungsi g(x)
tidak kontinyu di x = 2
Contoh
x2 − 4Selidiki kontinuitas fungsi f
(x) = di x = 2 x−2
Penyelesaian:
1. x2 − 4Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu
dipenuhi f (x) = x−2 01.
2. f(2) = suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada 0,
3. Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di
x = 2
Contoh
x2 − 1Selidiki kontinuitas fungsi f
(x) = di x = 1 x2 + 1
Penyelesaian: 12 - 1 1 - 1 01. f (1) = = = = 0 , ada 12 + 1 1 + 1 2 x2 - 1
1-1 02.
lim f(x) = lim = = = 0 , ada x →1 x + 1 1+1 2 2
x →1
Lim f(x) = f ( 1 ) = 0 x →1 Jadi f(x)
kontinu di x = 1
Contoh
Diberikan f ( x ) = 1− x 2 . Selidikilah kekontinuan fungsi f.
Penyelesaian : Jelas f tidak kontinu pada (− ∞ , − 1) dan pada (1 ,∞ )
sebab f tidak terdefinisi pada intervaltersebut.
Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh: lim f (x ) = lim x →a x→a 1− x 2 = x→a ( ) lim 1 − x 2 = 1 − a 2 = f (a )
Jadi, f kontinu pada (−1, 1).
Dengan perhitungan serupa
didapatkan: lim f ( x ) = 0 = f (− 1) dan lim f ( x ) = 0 = f (1) x → −1 + x → 1−
sehingga f kontinu dari kanan di x = −1 dan kontinu dari kiri di x = 1.
Jadi, f kontinu pada [− 1,1] .